Споделяне в социалните. мрежи:


Строителство на авиационни двигатели Административно право Административно право Беларус Алгебра Архитектура Безопасност на живота Въведение в професията "психолог" Въведение в икономиката на културата Висша математика Геология Геоморфология Хидрология и хидрометрия Хидросистеми и хидравлични машини История на Украйна Културология Културология Логика Маркетинг Механика Медицинска психология Метал и техники за заваряване Хроматологични стратегии икономика дескриптивна геометрия Основи на икономически т Oria професионална безопасност Пожарна тактика процеси и структури на мисълта, Професионална психология Психология Психология на управлението на съвременната фундаментални и приложни изследвания в апаратура социалната психология социални и философски проблеми Социология Статистика теоретичните основи на компютъра автоматично управление теория на вероятностите транспорт Закон Turoperator Наказателно право Наказателно-процесуалния управление модерна производствена Физика Физични феномени Философия Хладилни инсталации и Екология Икономика История на икономиката Основи на икономиката Икономика на предприятията Икономическа история Икономическа теория Икономически анализ Развитие на икономиката на ЕС Извънредни ситуации VKontakte Odnoklassniki Моят свят Facebook LiveJournal Instagram

КОМПЛЕКСНИ ЧАСТИ И ДЕЙСТВИЯ ПО ТЕЗИ




съдържание

§1. КОМПЛЕКСНИ ЧАСТИ И ДЕЙСТВИЯ ПО ТЕЗИ
§2 ПОСЛЕДОВАТЕЛНОСТ НА КОМПЛЕКСНИТЕ ЧИСТИ С СЕРИЯ С КОМПЛЕКСНИ ЧЛЕНОВЕ
§3. ФУНКЦИИ НА КОМПЛЕКСНА ПРОМЕНЛИВА
§4 ОГРАНИЧЕНИЕ НА КОМПЛЕКСНА ПРОМЕНЛИВА ФУНКЦИЯ. ПРИЕМСТВЕНОСТ
§5. РАЗРАБОТВАНЕ НА ФУНКЦИИТЕ НА КОМПЛЕКСНОТО ПРОМЕНЛИВО СЪСТОЯНИЕ НА COSHI-RIMAN
§6 INTEGRAL ОТ КОМПЛЕКСНА ПРОМЕНЛИВА ФУНКЦИЯ
§7. Интегрална Cauchy теорема. Cauchy Formula
§8. ЕДИННА КОНВЕРГЕНЦИЯ НА ФУНКЦИОНАЛНАТА СЕРИЯ ABEL'S THEOREM
§9. ТАЙЛОРЕН ГАРАНТ НА АНАЛИТИЧНА ФУНКЦИЯ
§10. LORAN СЕРИЯ ИСОЛИРА СПЕЦИАЛНИ ТОЧКИ
§11. НАМАЛЕНИЯ ЗА ОСНОВНА ТЕОРЕМА.
§12. ИЗЧИСЛЯВАНЕ НА ОПРЕДЕЛЕНИТЕ ИНТЕГРАЛИ ЧРЕЗ ЗАПЛАХИ
СПРАВКА

КОМПЛЕКСНИ ЧАСТИ И ДЕЙСТВИЯ ПО ТЕЗИ

Дори най-простите алгебрични операции на реални номера (извличане на квадратния корен на отрицателно число, решаване на квадратично уравнение с негативен дискриминатор) го извеждат извън границите на множеството реални числа. По-нататъшното обобщаване на понятието число води до сложни числа. Забележителна характеристика на множеството от сложни номера е нейната близост по отношение на основните математически операции. С други думи, основните математически операции на сложни числа не са извлечени от множеството сложни числа.

Комплексен номер ( в алгебрична форма ) е израз

където - произволни реални номера, - въображаема единица, определена от състоянието ,

Брой на наречена реалната част на сложно число означен с (от латински " realis "), номер наречена въображаема част на сложно число и се обозначава с (от латински " imaginarius ").

Две сложни числа и са равни, ако и само ако техните реални и въображаеми части са равни: , , Две сложни числа са равни или не равни (не се въвеждат понятията "повече" и "по-малко" за сложните числа).

Комплексът се свързва с номера наречен номер , Очевидно, комплексът - конюгат номер до съответства на номера : ,

Аритметични операции. Добавянето, изваждането и умножаването на сложни числа се извършват съгласно обичайните правила на алгебра.

нека , , след това

сумата ,

разлика ,

работата ,

коефициент (с )

Пример 1 Задайте сложни номера , ,

Да се ​​намери , , ,

Решението . ;

;

,

Задача 1 . нека и - двойка сложни номера на конюгат. Покажете, че тяхната сума е реално число, разликата е въображаем и продуктът е истински негативен номер.




Пример 2 Да се ​​намери , ,

Решението . ; ,

,

Забележка. Степени на брой може да бъде представена като таблица

Пример 3. Умножете числата и ,

Решението .

Пример 4. Изчислете а) ; б) ; в) ,

Решението .

a) Отворете квадрата с разликата:

,

б) Отворете куба сумата:

,

в) Според биномията на Нютон :

,

Може да се счита за: ,

Пример 5. Намерете частни ако ,

Решението .

,

Пример 6. Изчислете а) , б) ,

Решението . а) ,

б) ,

Нека да си припомним:

Геометрична интерпретация на сложно число.

Помислете за картезианска правоъгълна координатна система. Поставете истинската част на абсцисата сложен номер , а по оста Y - неговата въображаема част , Вземи точка с координати , Освен това, всеки сложен номер съответства на една точка от равнината. Обратното е вярно: всяка точка на самолетите може да бъде назначен сложен номер чиято реална част е равна на абсцисата на точката и на въображаемата част равна на координатната точка. По този начин се установява кореспонденция "един към един" между сложните номера и точките на самолета. (По-рано говорихме за кореспонденция между реални номера и точки от цифровата линия).

Самолет, чиито точки представляват сложни номера, се нарича сложна равнина . За да го различите от истинската равнина в горния десен ъгъл, напишете буквата Кръгче. Линията на абсцисата на такава равнина се нарича истинската ос, а координатната ос се нарича въображаемата ос. Комплексният номер на конюгата е огледално изображение на даден комплектен номер за истинската ос. Произходът се нарича нула. Разстоянието на сложно число от началото на координатите се нарича модул на този номер:



,

Проблем 2. Докажете това ,

Модулът на разликата от две сложни числа е разстоянието между съответните точки:

,

На всяка точка от сложната равнина асоциираме вектор с начало в нулевата точка и край в тази точка. Очевидно тази кореспонденция е индивидуална. В това интерпретиране реалните и въображаеми части на сложното число са първият и вторият компонент на вектора. сума е представен от диагонала на паралелограма, изградена върху вектори и разлика разбира се като , Модулът на сложното число е дължината на вектора. Геометрично очевидно е триъгълното неравенство в сложната равнина: ,

Пример 7. Посочете мястото на точките в сложната равнина, за която

а) ; б) ;
в) ; ж) ,

Решението . а) откакто тогава даденото двойно неравенство може да бъде пренаписано под формата: , Имате вертикална лента.

б) тъй като след това пренапише даденото двойно неравенство във формата: , Имаш хоризонтална лента. Задачи в) и г) решават самостоятелно.

Пример 8. Посочете местоположението на точките по сложната равнина, за които а) ; б) ; в) ,

Решението . а) Модул на сложен номер Дължината на вектора е от нула до точка , т.е. разстояние от начало до точка , Така че в случая на ние говорим за геометричното разположение на точките в равнина, еднакво разстояние от произхода - това е кръг (в този случай радиусът на кръга е 1). Възможно е проблемът да бъде преведен на езика на декартови координати:

,

б) Тук става въпрос за геометричното разположение на точки извън кръга на радиуса (центрирано в началото).

в) точките са в кръга между кръговете на радиуса и ,

Пример 9. Посочете местоположението на точките по сложната равнина, за които a) ; б) ; в) ,

Решението . а) модул за разлика Дали разстоянието между точката сложна равнина и точка 1. Така че ние говорим за геометричното разположение на точки равностоящи (на разстояние 1) от точка 1, е кръг с радиус 1, центриран в точката (1; 0). На езика на координатите:

,

б) Точките са едновременно в кръг центрирано в началото и в кръг с центъра изместен до точката : ,

в) Това са точките на дясната равнина разположена в кръг : ,

:

Тригонометрична форма на сложен номер. Комплексен аргумент ъгъл на повикване който представлява вектор с положителната посока на реалната ос, , Този ъгъл се определя двусмислено:

,

тук - основната стойност на аргумента, която се подчертава от неравенствата (т.е. се прави разрез на сложната равнина по реалната ос отляво на произхода).

В първата колона посочен за номер разположена на реалната или въображаема ос, а във втората колона - за всички други сложни номера.

означаваме , Така че , , тогава комплексното число може да бъде представено в тригонометрична форма :

,

Две сложни числа и дадени в тригонометрична форма

, ,

по силата на двусмислието на аргумента са равни, ако и само ако , ,

Пример 10. Намерете модулите и аргументите, както и основните стойности на аргументите на сложните числа , Напишете всеки от тях в тригонометрична форма.

Решението . Модулите на всички тези номера са еднакви:

,

Аргументът на всеки номер се намира, като се вземе предвид тримесечието, в което се намира съответната точка.

1) Точка това е първото тримесечие

,

В тригонометрична форма преброени тук - честотата на косинуса и синусите.

2) Точка това е второто тримесечие

,

,

3) Точка се намира в третото тримесечие

,

,

,

4) Точка е в четвъртото тримесечие

,

,

,

Умножение и разделяне на сложни числа в тригонометрична форма. Нека номерата и са дадени в тригонометрична форма: , , Умножете ги:

,

Припомняйки формулите за косинуса и синуса на сумата от два ъгъла, получаваме

, (1)

Виждаме, че когато умножаваме сложни номера, техните модули се умножават, а аргументите се добавят. Геометрично значение на тази операция: представяне на числа и вектори на сложната равнина, произхождащи от нулевата точка, виждаме, че векторът получен от вектор "Протягане" в веднъж и ъгъл на завъртане ,

За частни ние получаваме формулата:

, (2)

Пример 11. Намерете продукта и коефициента на числата

и ,

Решението . Съгласно формулата (1) пишем:

,

Проверете резултата, като умножете тези числа в алгебрична форма:

,

По формулата (2) намираме

,

В алгебрична форма тази операция ще бъде написана като:

,

Повишаване на сложно число на власт. От формулата (1) следва, че експонирането сложен номер произведени по правило

, (3)

Пример 12. Изчислете 1) ; 2) ,

Решението . 1) Нагоре имаме запис на сложен номер в тригонометрична форма: , По формулата (3) намираме , Същият резултат е получен по-горе в пример 4с) като се използва биномията на Нютон.

2) На първо място, нека представим номера в тригонометрична форма.

, ,

точката е в четвъртото тримесечие , следователно

,

Остава да се използва формулата (3):

,

Разкривайки различния куб, получаваме същия резултат (проверете!).

при формула (3) се превръща във формулата на Moivre :

, (4)

С негова помощ отношенията лесно се получават, изразявайки сините и косините с множество ъгли и ,

Пример 13. Експресиране и през и ,

Решението . Поставяне на формулата на Moivre , получаваме:

,

Отляво отворете сумата на куба и събирайте подобни членове:

,

Тук се взема предвид това , Достигнахме равенството на две сложни числа в алгебрична форма.

,

което е вярно, ако и само ако реалните и въображаеми части от тези номера са еднакви.

Равнопоставеността на частите дава ;

приравнявайки въображаеми части, получаваме ,

Извличане на корен от сложен номер. Ако сложни номера и свързани с след това , Представете си номерата и в тригонометрична форма:

, ,

Ние ще приемем, че тук - основната стойност на номерата на аргументите ,

Нашата задача е за определен номер (т.е. чрез известни и ) определят (Т.е. и ). Съгласно формулата (3) равенство вписано в

,

От равнопоставеността на две сложни числа в тригонометрична форма следва:

,

тук - корен - силата на реален негативен номер. Така че за корен - силата на сложното число вземете формулата

, (5)

Да приемем последователно получаваме различни значения :

,

,

,

Всички тези корени имат едни и същи модули. , т.е. съответните точки се намират в кръг с радиус центрирано в началото. Аргументите на два съседни корени се различават по ъгъл , Така че всички коренни стойности - силата на сложното число са в горната част на дясното - вписан в кръг с радиус ,

Пример 14. Намерете всички коренни стойности - силата на сложното число и да ги нарисувате на сложната равнина, ако

1) , 2) , 3) , 4) ,

Решението . 1) На първо място откриваме модула и аргумента на комплексното число : , Формула (5) за вземете формата

,

от къде ,

,

,

точки са в върховете на редовен триъгълник, вписан в кръг от радиус на единица, един корен е е реално число. Аргументите на две съседни точки се различават по ъгъл , Имайте предвид това ,

2) тук : Ето защо

,

от къде ,

,

,

точки са в върховете на редовен триъгълник, вписан в кръг корен е реално число. Имайте предвид това , Сравнете с резултата от Pr.12.2, откъде сте получили , т.е. ,

3) тук : и в

,

от къде ,

,

4) тук и в

, откъдето получават два номера:

, ,

Нека да си припомним: ,

Задача 3. Изпълнете задачи pr.14, ако 1) , 2) ,

Пример 15. Разлагане на линейния троен термин в линейни фактори.

1) ; 2) ,

Решението . 1) Помислете за квадратичното уравнение , Неговата дискриминация , Това означава, че няма истински корени. От пръст 14.4 следва, че , Съгласно формулата за корените на квадратично уравнение , Получени са две сложни конюгирани корени и , В съответствие с откритите корени ние можем да разложим квадратната триномия в линейни фактори:

,

2) Помислете за квадратичното уравнение , Неговата дискриминация няма реални корени. От пръст 14.4 следва, че , Съгласно формулата за корените на квадратично уравнение , Получени са две сложни конюгирани корени и , В съответствие с откритите корени ние разлагаме квадратната триномия на линейни фактори:

,

Обръщаме внимание на факта, че квадратично уравнение с реални коефициенти има двойка сложни конюгирани корени .

Задача 4. Уверете се, че разширенията на линейния фактор са верни.

; ; ,

Експоненциалната форма на сложен номер. Формулата на Ойлер (доказва се по-късно) :

, (6)

ви позволява да напишете сложен номер в индикативна форма :

където ,

От формулата на Ойлер и от - честотата на синусоида и косинуса трябва да бъде:

,

по този начин, , т.е. ,

Пример 16. Числа пишете в експоненциална форма.

Решението . В примерен пример 10 ,

, , ,

, , , , ?

Лесно е да се провери валидността на отношенията:

Сравнете тези отношения с правилата за умножение, разделяне и повишаване на силата на сложни числа в тригонометрична форма.

Пример 17. Сравнете сложните числа. и ,

Решението. От pr.16: , Имайте номера и модулите са еднакви. Открояване на номер няколко срока ние представляваме под формата на като мултипликатор , по този начин, ,