Авиационно инженерство Административно право Административно право Беларус Алгебра Архитектура Безопасност на живота Въведение в професията „психолог” Въведение в икономиката на културата Висша математика Геология Геоморфология Хидрология и хидрометрия Хидросистеми и хидравлични машини Културология Медицина Психология икономика дескриптивна геометрия Основи на икономически т Oria професионална безопасност Пожарна тактика процеси и структури на мисълта, Професионална психология Психология Психология на управлението на съвременната фундаментални и приложни изследвания в апаратура социалната психология социални и философски проблеми Социология Статистика теоретичните основи на компютъра автоматично управление теория на вероятностите транспорт Закон Turoperator Наказателно право Наказателно-процесуалния управление модерна производствена Физика Физични феномени Философски хладилни инсталации и екология Икономика История на икономиката Основи на икономиката Икономика на предприятията Икономическа история Икономическа теория Икономически анализ Развитие на икономиката на ЕС Спешни ситуации ВКонтакте Однокласници Моят свят Facebook LiveJournal Instagram
border=0

Алгебрични групи

Определение. По групи наречен непразен набор, в който за всеки два елемента определен елемент (работа) и:
1) ;
2) ;
3) ,

Примери за групи:
1) - недегенерирани матрици за размер с комплексни коефициенти - групата по отношение на матричната операция за умножение;
2) - цели числа - група по отношение на операцията по добавяне на цели числа;
3) Диедрална група :
Помислете за ортонормална основа на равнината, даваме кръг от единичен радиус с център в началото. Нека го напишем правилно -Гон, единият от върховете на който е в края на вектора , - това са всички равнинни движения, които превеждат това - сам по себе си.
Нека се уверим, че този набор ще бъде група по отношение на състава на движенията:
1) съставът на движенията е асоциативен;
2) може да се направи едно и също движение като един елемент;
3) като обратен елемент, можете да предприемете обратното движение.
Разгледайте тази група по-подробно. С всеки такъв център за движение - остава на мястото си, следователно е ортогонална трансформация на равнината, т.е. или въртене през определен ъгъл, или симетрия по отношение на определена права линия.
защото при завъртане на горната част трябва да отидете на някакъв връх, след това въртенето може да бъде само под ъгъл където , Обозначаваме ротационната матрица с ъгъла за , Като симетрия е подходяща, например, симетрия около оста матрицата на такава трансформация ,

Теорема. група се състои от елементи, а именно и ,

Доказателство.
Както вече споменахме, въртенето може да бъде само под ъгъл където , Пишем матрицата на такова ротация: но нищо повече от това , следователно - това са всички завои, включени в групата ,
А сега нека - това е някаква симетрия от групата , след това също принадлежи към тази група и това е ортогонална матрица и нейната детерминанта е , Следователно, това е завой, т.е. , защото след това следователно всички симетрии от - Това е така ,
Доказахме, че групата съдържа само елементи Нека сега докажем, че всички тези елементи са различни. Всички елементи различен, защото тя се върти под различни ъгли. ако след това това е невъзможно. ако след това и вече сме доказали, че това е невъзможно.
И последното твърдение на теоремата. - това е завой под ъгъл , т.е. идентично движение. защото тогава е симетрия по отношение на някаква права линия, но симетрията в квадрат е винаги едно и също движение, следователно, ,

Упражнение. Докаже, че ,

4) даваме пример за друга група - кватернионната група , Разгледайте матриците ,

Упражнение. Докаже, че , , , , Докаже, че матриците образуват група по отношение на операцията по умножаване на матрицата.

Упражнение. Докаже, че във всяка група един елемент уникално дефинирани за всеки елемент обратен елемент също определено еднозначно.

Определение. Групова поръчка наречен брой елементи в група, обозначени ,

Упражнение. Помислете за група - недегенерирани матрици над полето на елементи. Докажете, че неговият ред е равен ,

Определение. нека - група. Непопълнено подмножество в наречена подгрупа, ако 1) ;
2) ,

Забележка. Един елемент винаги принадлежи на всяка подгрупа. защото не-празен, тогава има поне един елемент , По собственост 2) , по собственост 1) ,

Упражнение. Докаже, че във всяка група пресечната точка на произволен брой подгрупи също ще бъде подгрупа.

Примери за подгрупи:
1) Група , Нейните подгрупи: ; - реални матрици с определящ; ; - единични матрици; - единични матрици с детерминантен; - ортогонални матрици; ; ( ; - подгрупи в група );
2) - група замествания. (дори и пермутации) е подгрупа. В конкретния случай, ако много също ще бъде подгрупа;
3) - група от ненулеви комплексни числа по умножение. Нейните подгрупи: - единичен кръг; - корени на един.

Определение. нека - елемент на групата и. \ t - цяло число, след това ,

Теорема. ако след това и ,

Упражнение. Докажете теоремата.

Определение. нека , Поръчка на артикул (обозначен с или ) се нарича най-малкият естествен такава , Ако такова число не съществува, тогава елементът има безкраен ред.

Упражнение. Намерете реда на елемента ,

Оферта. нека , За цяло число Следните условия са еквивалентни:
1) ;
2) ,
Доказателство.
, нека , след това ,
, нека където след това , следователно защото в противен случай , следователно , ,





Вижте също:

Група G

Хомоморфизъм | Мономорфизъм | Епиморфизъм | Изоморфизъм | Автоморфизъм в алгебрата

Евклидово пространство

Алгебрата с умножение се нарича алгебра на Ли

Абелева група в алгебра

Връщане към съдържанието: Алгебра

2019 @ edubook.site